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如果你在合肥淮河路步行街上随机采访一些年轻的小哥哥小姐姐,问他们印象里最深刻的数学定理是什么?晓然菌相信,有相当一部分人会回答是勾股定理。

什么是勾股定理?简而言之就是,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学语言来表示就是:

勾股定理

说起勾股定理,那可真是串起了遥远的数学发展史。中国的数学启蒙很早很早,中国的上古数学著作《周髀算经》中记载了周公与商高的这样一段对话:

“以为勾的广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”

赵爽 弦图

翻译一下就是,边长分别是3,4的直角三角形,那么斜边长就是5。这也是“勾三股四弦五”的最早由来。不过虽然中国人发现这组最小的勾股数时间很早,但是针对于这个定理本身的证明却要迟的多。一直到魏晋时期,我国古代著名数学家刘徽才在《九章算术注》里给出详尽证明。后世的中国数学家也有不少研究过这个定理,并且给出了不少相当明了的证明,下面我们来看下东汉数学家赵爽的证明方法。

赵爽弦图之证明

值得一提的是2002年在北京举行的第24届国际数学家大会,这是数学界最高级别的会议,在会上就颁发4年一度的数学界最高奖——菲尔兹奖,那一届大会的会标就是赵爽的弦图。

勾股定理如此热闹,吸引着各行各业对数学有高度兴趣的人士来参与,甚至美国总统也来凑热闹。

数学家总统 加菲尔德

加菲尔德,美国第20任总统,用梯形面积来证明勾股定理,简约而不简单。我们来欣赏一下总统的大作吧。

勾股定理之总统证法

事实上,直到今天,人们已经陆续发现了400多种证法。证明的思路包罗万象,仿佛你从任意一个数学观点出发都有可能抵达证明的终点。不过在这里,可千万不要用三角函数的方式来证明。这是绝对错误的,为什么呢?因为三角函数就是从勾股定理推导出来,如果用结论去证明一个过程,那不就是典型的循环论证了么,因此可千万要避免。

如此精彩的一个定理,肯定不会只是一个文明的发现。勾股定理在东方和西方的文明中都留下了记载。

古希腊先哲——毕达哥拉斯学派

说到西方古文明,那么古希腊首屈一指,尤其是在数学上的成就,是后人们很久都难以企及的。在西方世界,谁最先发现了这个定理已经无法考证,但是现在我们一般都把这个定理的发明归于毕达哥拉斯学派,所以西方社会也把勾股定理称作毕达哥拉斯定理。这是一个由毕达哥拉斯及其信徒组成的学派,在这个学派里,他们多是自然科学家,把美学视为自然科学的一个组成部分,他们认为整数是描述整个世界的语言。因为对数字的极度痴迷,毕达哥拉斯也研究了很多种数字,比如素数,完全数,三角形数等等。

据说当年,因为庆祝毕达哥拉斯发现了勾股定理,整个学派杀了一百头牛来庆祝这个成果的诞生。因此历史上又称这个定理为百牛定理。足见当时的学派人士是多么心思若狂。不过在这里,毕达哥拉斯学派真是成也定理,败也定理。这是怎么回事呢?

勾股定理的表达式很简单,就是两个数的平方和等于另外一个数的平方。如果这三个数都是整数那自然是很好了,但是直角三角形并不总是三条边都是整数,那遇到一个没办法开完根号的边长,又该如何表示呢?比如两条直角边都是1,斜边长是多少。这不就是根号2么,但是当时的数学水平对于数字的研究仅限于整数和小数,诸如根号几这一类没法开完根号的数字,他们是难以理解的,或者说是难以接受的。

根号2怎么表示呢?

毕达哥拉斯学派不愧是对数字崇拜到了极点,在“万物皆数”的引导下, 他们固执地认为,所有的数字都可以表示成两个整数的比。一直都相干无事,大家也都相信这样的真理。然而,在一片祥和宁静的世界里总要有人来打破,并且创造出一些新的东西来。

大约在公元前500年左右,同样是学院派人士的希帕索斯,这位同志就由毕达哥拉斯定理推论出一个问题来:直角边是1的等腰直角三角形的斜边长度是多少,貌似不能表示出来。咱们学派不是说所有的数都可以表示成两个整数之比么?可是这个根号2怎么办呢?好像就是不可以啊。希帕索斯并不是一个有太多成就的数学家,我们现在用反证法很容易证明出根号2不是任何整数之比,但是他的这个疑问却难倒了当时的很多人。他把疑问传达给学派的同学们,同学们面面相觑,虽有疑问却都不能圆满解决。这可怎么办?凡是毕老师坚持的我们都认为是真理,凡是毕老师坚持的信仰我们都要毫不犹豫地去维护。好吧,那就只有牺牲你了,希帕索斯同学。

毕老师和希帕索斯

在很久以前总有一帮愚昧的人,问题解决不了,那就解决提出问题的人。就这样希帕索斯被同学们丢入大海溺亡,当然这种事情是不可以在光天化日之下进行的。偷偷地做了,就这样,希帕索斯应该是第一个为数学而牺牲的人了。人是没了,但是流言却四起,学派的信仰也发生了动摇,甚至在学院内部也禁止传播发现无理数的行为。不过真理的发展就像车轮一样,总会不断向前,靠强制手段和高压政策是绝对不可能把真理完全封闭起来的。

由希帕索斯发现的无理数在当时的数学界掀起轩然大波,这也被称为第一次数学危机,而勾股定理的发现是这次危机的直接导火索事件。人们也开始意识到,数学的海洋实在太广了,用哲学来解释数学根本就是天方夜谭,数学只相信客观事实和理性思维,在这里,一切多美妙和谐的所谓信仰都要经过这两种考验,才能安然地与数学融合起来。像远古时代的毕达哥拉斯时代,用现代人的眼光来看,实在太有民科气质了。

很多人在晓然菌文章下面都喜欢评论:你天天都说哥德巴赫猜想,黎曼猜想这些问题,这些问题就算解决了有什么用?那就再回答一次吧,因为好玩啊。我们再次回到勾股定理的问题来,这里是两个数字的平方和等于另外一个数字的平方,我们都知道满足这样条件的勾股数有无数组。那我们稍微改变一形式,两个数字的立方和等于另外一个数字的立方。请问这样的整数组有多少个呢?这里简单把2次方改成3次方,在奥数题目中经常遇到这种伎俩,最后都会用一种巧妙的方法来解决,这里的小改动是否也有小伎俩来解决呢?答案是没有,这是一个亘古的难题。

许多同学已经知道了,这就是著名的费马大定理,我们现在已经知道这是没有整数解的。

大约1637年,费马同志提出了这个猜想,当然他不是根据勾股定理来推出这个猜想的,但是这两个问题的数学表达方式如此相似,好像同胞兄弟一般,吸引着无数大师的研究热情。

其实当年费马提出的可不仅是只有3次方,而是3次,以及3次以上都是没有整数解的。在那个没有后来怀尔斯用到的椭圆曲线,模函数的年代,只能采用最常规的办法,先从最小的3开始,看看能否用数学归纳法推广到全体整数。这种常规思维容易让人想到,那就开始做吧。

可是没想到,这个看似只是一个奥赛题难度的小问题,在最初的130多年里毫无进展。1770年,欧拉才出手证明了n=3的情况。在300多年的证明过程中,柯西,拉梅,库默尔,热尔曼等大师级专家献身其中,不断取得进步。

1637年,费马在书本空白处提出费马猜想。

1770年,欧拉证明n=3时定理成立

1823年,勒让德证明n=5时定理成立。

1832年,狄利克雷试图证明n=7失败,但证明 n=14时定理成立。

1839年,拉梅证明n=7时定理成立。

1850年,库默尔证明2<n<100时除37、59、67三数外定理成立。

1955年,范迪维尔以电脑计算证明了 2<n<4002时定理成立。

1976年,瓦格斯塔夫以电脑计算证明 2<n<125000时定理成立。

1985年,罗瑟以电脑计算证明2<n<41000000时定理成立。

1987年,格朗维尔以电脑计算证明了 2<n<101800000时定理成立。

1995年,怀尔斯证明 n>2时定理成立。

费马大定理终结者 怀尔斯爵士

费马大定理这段接力起伏的攻坚过程堪称是一部浩瀚精彩的大戏,一直到1993年,英国数学家怀尔斯宣布彻底证明费马大定理,并在1995年经过验证。人们历经358年,这一伟大的问题才真正成为了定理。

勾股定理,一个有400多种证法的神奇定理

为什么这个玩具完美地证明了勾股定理?

小小的勾股定理是数学史上第一个数与形结合的定理,我们很难再找到一个如此经典的数学命题了,有着如此新颖的爆发力。其实到了今天勾股定理的新证明仍然在出现,并且是以各种不同的角度来证明的,实在让人感到意外。如果你有足够创意,你可以。

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