科学只能“逼近”真理，而数学“就是”真理，Why？

世界顶尖数学家、前哈佛数学系主任、现于清华大学任教的

丘成桐，在接受“人文清华”的采访时，

有一句话刷屏了：

其它学科是逼近真理，而数学本身“就是”真理

其实这是现代科学发展的一个“常识”：

无论你做什么研究、发什么文章，

都一定要“数据”、要有“模型”

否则就不是什么好学问、好文章。

可是，你知道为什么吗？

想要弄清楚这一问题，

就必须要弄清楚科学-数学-哲学的关系！

科学的基础，是数学和哲学

哲学，规定了科学认知的“方法论”

数学，则是研究与描述科学的“工具”！

一、科学与哲学的关系

当代科学发展成今天这个样子

其实是以“哲学”中的”认识论“为基础的。

哲学，研究的重要主题之一，是：

人类应该如何去认识世界

不同的哲学方法论，

当然就会导致对世界不同的认知方式。

正如复旦大学网红教授、哲学家 王东峰所言

科学不需要哲学对它进行概括和总结，
而是科学向来依赖哲学做它的基础的前提！

以下为王东峰教授所讲的一段小视频：

关于科学-数学-哲学的关系

可以在古希腊哲学中找到思想根源。

（没办法，现代的数学、科学都是在古希腊哲学中产生的，所以只能“言必称希腊”了……）

在古希腊哲学中，关于应该如何认知世界

有这样一些基本的认识：

你所看到的事物，都是流动变化的假象

真正不变的，是事物背后的支配力量！

推理的逻辑，比感官更接近于“真实”！

我们可以简单地把3句话认为它们分别指代

“经验”、“科学”、和“数学”！

那么，前两句话，

说的就是“经验”与“科学”的关系了。

我们来看一个例子：

“太阳每天都从东边升起”，

这是“流动变化的假象”、还是真理呢？

显然，这只是一个通过感官得到的“现象”

以及基于”现象“的归纳总结（即所谓”经验“）

所以，它不是真理！

请注意：

一切基于经验或现象的”归纳“，

都是无法得到”真理“的！

历史中著名的“黑天鹅”事件，即是如此！

当时的人们所见到的所有天鹅，

无一例外，都是白的，

所以人们就得出了“所有天鹅都是白的”的结论

这在“经验”中，当然是正确的

经验当然也很有用，

但这样的“归纳”却并不能保证

世界上不存在黑天鹅！

——作为故事的结局，

是后来真的有人发现了黑天鹅！

但即使从未有人发现过黑天鹅

“所有天鹅都是白的”这种基于经验的归纳

也不能被视为“真理”！

那什么才是真理呢？

古希腊哲学观认为：

背后的支配力量，才是真理！

因此，

使得“天鹅一定是白色”的支配力量

使得“太阳每天从东边升起”的支配力量

才是真理!

今天，我们很容易理解

“太阳每天从东边升起”的支配力量，是：

地球的自转、且方向为自西向东

——因为，如果地球不自转了

或者自东向西、甚至自南向北自转

甚至，太阳毁灭了/熄灭了

“太阳每天从东方升起”这个现象

立马就不成立了！

因此，古希腊人的哲学观

使得他们对“流动变化的假象”兴趣不大

而特别注重找到“现象背后的支配力量”！

这种“现象背后的支配力量”

就是“科学理论”、或“科学假设”！

（当然科学还需要数学的支撑，见后）

这就导致，

古希腊人特别热衷于做各种“模型”！

——所谓模型，不就是对“支配力量”的模拟嘛！

比如，关于宇宙运行的规律

亚里士多德构建出了一套“天球模型”

为了解释行星绕地球时产生的“逆行”现象

值得一提的是：

托勒密这个模型并不符合现代宇宙模型，

但却较为完满的解释了当时观测到的行星运动情况

（它还成功地指导了航海，说明其在数学上上也非常精确）

怪不得“地心说”历经1600年

让人深信不疑呢！

其实一直到近代，

开普勒行星三定律

牛顿“力学三定律”

相对论、量子力学

也都同样是把一切“现象”视为“假象”

而试图去寻找“背后的支配力量”！

——我们总说“中国人不擅长科学创新”

本质上不是因为我们学了太多的知识

而是我们对“真理”的本质是什么缺乏理解！

二、科学与数学的关系

科学研究的对象是

隐藏在万事万物内部的“规律”

而规律是看不见、摸不着的！

我们能看到的，只是受到规律支配的“现象”！

既然看不见、摸不着，

那么我们又应该如何描述这一规律呢？

一种方案，如“神学”

给一个断言，不断重复、让大家习以为常

或者像亚里士多德那样

给一个符合经验的“定性”描述

——比如，世界是由“水火土气”组成的

以及一个看起来也符合经验的“解释”

然而，既然这些结论

既无法完全证实、也无法完全证伪

那么完全就可以有其它的说法

——比如，世界是由“金木水火土”组成的

世界是由“气”组成的

只要有一个看似合理的解释即可

甚至“强辞夺理”的解释，也未尝不可！

因此，所谓“科学”的理论

必须要能经得起“检验”，才可以！

而且，这种检验，

必须要能明确地区分出“正确”、或“错误”

不能模棱两可才行！

追溯科学史，

伽利略最先开创了一种新方法！

英国著名的科学史专家wc•丹皮尔

在他的著作《科学史》中写道：

伽利略要发现的不是物体为什么降落， 而是怎样降落， 即是依照怎样的数学关系而降落；这是科学方法上的一个大发展！

伽利略认为，不仅天体的运动可以像第谷和开普勒等所做的那样，用数学公式精确描述， 地球上的物体运动也同样可以！

伽利略成功地定量描述了地球上物体的运动。而在他之前，人们不是没有去发现“ 物体是样降落的” ，而是人们对这一问题的探讨仅仅停留在“ 定性的粗略地述” 上。

伽利略的那句名言，也一直被后世科学家忠实奉行：

科学的语言，必须要以数学写就。

伽利略的“实验+定量研究”的做法， 大大地促进了物理学的发展。在伽利略的成功的激励下， 追求定量化， 努力揭示物理量之间的数量关系， 成为科学家们的一致的追求。

一个多世纪后， 拉瓦锡在化学科学方面也做了同样的事情， 从而也大大地促进了化学学科的发展。

伽利略开创的科学研究传统

直接促成了现代最有影响的“科学哲学”理论：

“逻辑实证主义”的诞生！

逻辑实证主义的基本主张是：

所有理论命题，都必须要通过经验的检验，才能成立！

逻辑实证主义

成为”现代科学“所公认的认识方法！

以下是网红哲学科普：小播读书

对逻辑实证主义哲学的的介绍，

当科学研究采用“数学”作为工具后，

人们发现它不仅便于“检验”，

而且还可以“推导”出更多规律

以及“预测”出未知的现象！

（这就涉及到数学与哲学的关系，见后）

狄拉克在晚年对他人谈论他自己的工作时说：

“ 我主要的工作是摆弄方程， 看它最终能给出什么。”

通过摆弄方程， 狄拉克预言了正电子的存在！

类似的例子太多了，比如：

爱因斯坦的引力波、引力透镜等诸多预言

麦克思韦预言：光是一种电磁波

门捷列夫通过自己“编排”的元素周期表，预言了众多新元素

科学与数学的关系还不止于此！

数学对科学还有“启发与指导”作用。

从牛顿的《自然学的数学原理》、拉格朗日的《分析力学》、麦克斯韦方程组、爱因斯坦的相对论，到海森堡薛定谔、狄拉克的量子力学，几乎所有理论发明中，都体现出了如下规律：

“理论物理的创造性原则寓于数学之中，“ 理论物理学家越来越不得不服从于数学的形式考虑的支配” （ 爱因斯坦语）

那么，

为什么作为“纯逻辑”的数学

居然能深刻地描述、甚至预测这个世界呢？

这就需要弄明白“数学与哲学”的关系！

三、数学与哲学的关系

数学与哲学的关系，

大约可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯

他提出的那条著名的“万物皆数”

虽不知从何得来

但确实反映了“数学与世界”的深刻关系！

而且，这一理念对于毕达哥拉斯学派来说

可不仅仅是一个“学说”

而是一个不可动摇的“信仰”！

这就导致发现了根号2的那个家伙

被沉入海底的悲惨命运！

想想看，这跟布鲁诺支持日心说被烧死，

有何两样呢。。。

为什么数学，

居然能成为一种“信仰”？

让我们回到本文开头提到的古希腊认识论：

你所看到的事物，都是流动变化的假象

真正不变的，是事物背后的支配力量！

推理的逻辑，比感官更接近于“真实”！

我们已经分析了前2句话

对应的是“经验-科学”的关系

那么，第3句话

则规定“支配力量”又如何才能保证为“真”

古希腊的哲学观要求：

必须要用“逻辑推理”的方法来描述“支配力量”

才能保证其是真实的、而非虚构、或不准确的！

怎么理解”推理的逻辑，比感官更接近于“真实”呢？

我们以苏格拉底著名的三段论来说明：

• 人都是会死的
• 苏格拉底是人
• 所以苏格拉底也是会死的

第一句话，是真的吗？

——不是！

因为它还是人基于经验/假象的“归纳”

前文说过，

一切对现象进行归纳得出结论

并非“真理”！

第二句话，是真的吗？

这只是个“分类”的问题，

不知道能不能叫“真理”，

作为一个命题，肯定是正确的。

第三句话，是真的吗？

——仍然不是！

原因很简单：

你的前提都不是真理，

结论怎么可能是真理呢？

既然都不是真的，

那这个“三段论”，还有什么价值呢？

其实，三段论中，唯一为“真”的，

是“推理的逻辑”！

——推理的逻辑，比感官更接近于真实！

与其相信感官、基于感官经验的归纳

不如相信逻辑！

感官可能会骗人

但逻辑却不会！

这也直接导致，所有科学理论，

无一例外地以“逻辑命题”的方式呈现！

而数学

无疑是最为纯粹、最为严格的逻辑推理

是用数量关系、空间关系

描述世界内在结构的一种特殊语言！

前文我们说过，

在解释“事物背后的支配力量”时，

古希腊人往往会建立“模型”

其实，在“模型”的构建中，

“数学”往往起到关键性作用！

因为，但凡能精确地解释世界运行规律的模型

必然要构建准确的空间关系、数量关系！

——它必然离不开“数学”！

比如托勒密的宇宙模型

就能准确地指导航海中事业的开展

可见在其模型中，

各项参数是非常准确的！

（一个并不符合客观事实的模型，还能做到这一点，确实令人惊叹！）

哥白尼提出“日心说”时，

其实也只是个“假说”

当然，他也做了一个模型

也有相应的参数

但是，在天文观测数据方面，

据说还没有“本轮-均轮”模型准确呢！

这也直接导致“日心说”

在此后数百年内一直未被主流科学所承认！

——大家都是玩模型、玩数学的

你要想打败别人的模型

就必须要在数据、计算上

比别人准确才行！

也与哥白尼的计算值也基本相符！

（可见，即使数学上美妙、和谐，也未必是真理）

哥白尼的“日心说”

直到牛顿提出“万有引力”理论

并进行了大量天文观测后

才获得科学界的认同

不过，当时的人们还没有能力

直接观测到地球绕着太阳转

它被承认只是基于一个原因：

在测量、计算结果相同的情况下，

“日心说”在数学形式上更为“简洁”！

由于数学上可以做任意的等效变换，

因此，无论你以什么为“中心”

——哪怕你说以“月亮”为中心

都一定都能找到一种正确的数学表达形式！

只不过，

更符合客观情况的数学模型，

一定更简洁而已！

通过以上宇宙模型的演变，

相信大家能够理解古希腊的哲学观

由于他们认为“事物背后的支配力量”才是真理

所以就会追求“科学”的解释

由于他们认为“推理的逻辑比感官更接近于真实”

所以就会追求逻辑

用简洁、严密的数学表达！

关于数学，一个比较玄妙的问题是：

数学，确实能反映事物的最底层特征！

这可能是因为，

数学是把事物的一切表面现象全部抽离

比如颜色、种类、作用等等

反正这些表面现象都是“流动变化的假象”

只剩下事物之间的数量关系/空间关系

并运用最严格的逻辑推导，

开展各种运算、变换，

并确保每一步在逻辑上都绝对正确！

——既然“推理的逻辑比感官更接近于真实”

那么数学规律就代表了人类所能达到的“真理”！

更为奇妙的是（巧合？）：

数量、以及数量关系，

确实在很大程度上决定了事物本身的性质

以及某种内在规律！

或者说，世界的所有内在规律

必然能用某种数量关系/空间关系进行描述！

比如：

• 化学元素的种类，完全是由“质子数”决定的！
• 粒子带电情况，是由“质子数-电子数”公式决定的
• 物态变化，是由“分子间距的数值”不同决定的
• DNA完全是由4种碱基、以不同的配对方式生成的
• 即使外表完全相同的双胞胎，其DNA也不可能完全相同！
  DNA完全相同的人必然是同一个人！
• 温度，是由分子的平均动能决定的
• 最低温度、光速都是某个常数
• F=ma，E=mc^2
• ……

在这方面，王珏老师感到最“惊艳”的

是“泡利不相容原理”：

在费米子(如电子）组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态！

这个例子似乎是大自然铁了心地要证明

不可能存在数量关系/空间关系100%一样的两个事物！

是数量关系/空间关系，“决定”了事物的最本质特征！

总之，我们也许不知道具体原因

但数学，确实能有效描述大自然的内在规律！

而揭示大自然的规律，

是物、化、生、地等各个学科的使命

因此，数学，

也就成为了这些学科的标准语言！

【本文小结】

数学”就是”真理，至少有两条原因：

“事物背后支配力量”才是真理+“推导的逻辑比感官更接近真实”–>支配力量是看不见摸不着的，需要构建模型–>能解释客观世界的模型必然需要具备空间关系、数量关系的准确描述

数学学科本身，它描述的是抽去一切表象后、仅存的关系，而且这一关系往往反映了事物的内在规律

科学只能逼近真理，是因为：

科学是对经验的总结、抽象，而人类的经验、感官能力、思维能力总是有限的、往往容易被误导，总结抽象出来的理论必定存在局限性。

为了减谬，必须要采用完全客观的“数量关系/空间关系”、数学模型来表达理论，只有构建出合理数学模型的，才”有可能“是正确的理论（也不一定就是正确的）。

拥有数学模型的理论，也便于通过测量、计算，来验证理论的正确性。

哲学指导了人类认识世界的方式

有什么样的认识论，人类就会塑造出怎样的世界！

数学、科学，都需要哲学作为基础和前提

逻辑实证主义，是现代科学发展的指导哲学理论

对于现代科学来说，逻辑=命题+数学模型，实证=实验

原文链接：https://www.toutiao.com/article/7152871171023815200